永野裕之のBlog

永野数学塾塾長、永野裕之のBlogです。

【数学塾直伝】分数の割り算の教え方と詳しい理屈(どうしてひっくり返すのかがよくわかる)

Fractions...

分数の割り算は、「子供に質問されて大人が困る算数の話題ランキング」(というものがあれば)ダントツの1位になるでしょう。なぜなら大人自身もやり方を知っているだけで理屈はわかっていないことが多いからです。そこで、本記事では子供への教え方と共に、少し高度な大人向けの理屈も紹介したいと思います。

【問題】

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あきら君が乗っている自動車は、{\large\frac{2}{3}}分で{\large\frac{4}{5}}km進みます。この自動車が一定の速度で走っているとすると、1分では何km進みますか?

 

たとえば、「3分で6km進みました。1分では何km進みますか?」という問題なら

\large{6\div3=2}


と計算して、1分で進む距離(分速)は「2km」と答が出せるでしょう*1
同じように考えれば、この問題は

\LARGE\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}


という計算をすれば答が出せそうです。いよいよ分数の割り算が登場します。
大人ならたいてい、上の計算は次のようにすればいいことを知っているでしょう。

{\LARGE\frac{4}{5}\div\frac{2}{3} = \LARGE\frac{4}{5}\times\frac{3}{2}}


でも、子供に「どうしてひっくり返すの?」と聞かれて答えられる大人は少数派のはずです。

 

ここでの目標は1分で進む距離を出すことです。

そのためにまず、 {\large\frac{2}{3}}分で進む距離を半分にして{\large\frac{1}{3}}分で進む距離を出してからそれを3倍することで、1分で進む距離を出したいと思います。

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【子供への教え方】

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まとめると、「1分で進む距離」を出すための「\large\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}」という計算は

\LARGE\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{5}\color{red}{ \times \frac{1}{2}\times\large3 }


とかけ算に直せるできることがわかります。

\LARGE\frac{1}{2}\times\large3\LARGE=\frac{1}{2}\times\frac{3}{1}=\LARGE\frac{3}{2}


ですから、

\LARGE\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{5}\color{red}{ \times\frac{3}{2} }


もし、{\large\frac{●}{□}}分で進む距離から1分で進む距離を出したいのなら、

{1分で進む距離=\large\frac{●}{□} \ 分で進む距離 \div\large\frac{●}{□}}


で求めることができます。一方、{\large\frac{●}{□}}分で進む距離を{\large\frac{1}{●}}倍にして{\large\frac{1}{□}}分で進む距離を出し、それを倍することでも1分で進む距離は出せます。

{1分で進む距離=\large\frac{●}{□} \ 分で進む距離 \times\large\frac{1}{●}\times\ □}


でもいいわけです。

つまり、「{÷\large\frac{●}{□}}」は「{\times\large\frac{1}{●}\normalsize\times □=\color{red}{ \times\large\frac{□}{●}}}」と同じです。

まとめましょう。

\LARGE\frac{△}{◎}\div\frac{●}{□}=\frac{△}{◎}\color{red}{ \times\frac{□}{●} }
 
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【大人向けの理屈】

大人向けに、分数の割り算が逆数の掛け算になる理屈をもう少し厳密に考えてみましょう。

分数とはなにか?

そもそも分数とは何を表しているのでしょうか?

今、

\large1\div\ 4


という計算を考えます。これは「1個を4等分したときの1つ」を求める計算だと考えることができます。ただし、結果を整数で表すことはできません。そこでこの計算の結果を\large\frac{1}{4}と書くことにします。

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一般化すれば、\ 1 個を \large n 等分したときの1つは \bf\Large\frac{1}{\bf\it n} となります。

これが「そもそも」の分数の意味です。式で書くと

\large 1\div n=\LARGE\frac{1}{n}

ですね。

分数で割るとはどういうことか?

次に「分数で割るとはどういうことか」を考えておきたいと思います。例として

\large1\div\LARGE\frac{1}{3}

の計算の意味を考えましょう。

一般に、「\large m\div n」の割り算には、次の2つの意味があります。

  1.  \large m\large n 等分するといくらか? (等分除)
  2.  \large m\large n が何個分か? (包含除)

ただし、「 1\div\large\frac{1}{3}」の場合は、「 1\large\frac{1}{3} 等分するといくらか?」と考えると混乱してしまいますので、「 1\large\frac{1}{3}が何個分か?」と考えることにしましょう。図にすると

 

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となりますから、「 1\large\frac{1}{3} が  3 個分」です。つまり、

\large1\div\LARGE\frac{1}{3}=\large3



です。これを一般化すると、

\large1\div\LARGE\frac{1}{n}=\large n



となります。

分数の掛け算

分数の掛け算についても確認しておきましょう。たとえば

\LARGE\frac{1}{2}\times\LARGE\frac{3}{4}


はどのように考えたらよいでしょうか?視覚的に理解するために、長方形の面積で考えてみましょう。

\large\frac{1}{2}\times\large\frac{3}{4} は、縦の長さが \large\frac{1}{2} m、横の長さが \large\frac{3}{4} m の長方形の面積を求める計算であると考えられます。この長方形を、一辺が\ 1 m の正方形の中に入れてみましょう。

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上の図の、色の着いた長方形は正方形の縦を2等分、横を4等分した長方形3つ分であることがわかりますね。縦を2等分、横を4等分すると正方形全体を8等分したことになりますから、結局色の着いた長方形の面積は\large\frac{1}{8} ㎡が3つ分です。つまり、

\LARGE\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}

です。ということは…

\LARGE\frac{1}{2}\times\LARGE\frac{3}{4}=\frac{3}{8}

ですね。これは

\LARGE\frac{1}{2}\times\LARGE\frac{3}{4}=\frac{1 \times 3}{2 \times 4}=\frac{3}{8}


と計算していいことを示唆しています。

つまり、分数の掛け算では分母どうしと分子どうしをそれぞれ掛け合わせればいいのです。これも一般化しておきます。

\LARGE\frac{a}{b}\times\LARGE\frac{p}{q}=\frac{a \times p}{b \times q}

 

 

分数の割り算の理解

ここまでをまとめると

  •  \large 1\div n=\LARGE\frac{1}{n}

  •  \large1\div\LARGE\frac{1}{n}=\large n

  •  \LARGE\frac{a}{b}\times\LARGE\frac{p}{q}=\frac{a \times p}{b \times q}


です。これらを使って以下のように分数の割り算を分解していきます。ところどころに「×1」が隠れていると考えるところがポイントです。

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最初の行と最後の行に注目すれば、\large \div\frac{\bf\it m}{\bf\it n} 」が「\large \times\frac{\bf\it m}{\bf\it n} 」になっているのがわかりますね。

分数÷分数を理解するには別の考え方もあります…が、その話をする前に割り算を表す記号「÷」の起源等について紹介させてください。

割り算を表す記号について

割り算を表す記号(除算記号といいます)としてよく使われるのは「÷」、「/」、「:」の3種類です。

1)「÷」

「÷」は主に英語圏や日本語圏で使われている記号で、分数表記を下記のように抽象化したものが起源だと言われています。

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17世紀の中頃にスイスで考案され、その後イングランドアイザック・ニュートンなどが好んで使ったことから広く一般にも使われるようになりました。

2)「/」

 「/(スラッシュ)」は17世紀初頭にイギリスで考案され、除算記号としては「÷」よりも歴史が古いです。現在でもほとんどのプログラミング言語では除算記号として「/」が使われています。

3)「:」

「:(コロン)」は17世紀の終わり頃に、ドイツのゴットフリート・ライプニッツが割り算を表す記号として使ったのが最初と言われています。「:」は、ドイツでは現在でも割り算の記号として使われていますが、他の国では「比」を表す記号として使われるのがふつうです。

分数の割り算の理解その2(繁分数の利用)

1\div n=\Large\frac{1}{n} であることなどを使うと

\large A\div B

 

=\large A\times 1\div B

 

=\large A \times\LARGE\frac{1}{B}

 

=\LARGE\frac{A}{B}

すなわち

\large A\div B=\LARGE\frac{A}{B}


です。これは上の「÷」の起源を考えれば、ごく直感的な表し方になっています。分数÷分数にもこれを応用すると

\LARGE\frac{a}{b}\div \frac{m}{n}=\frac{\huge\frac {a}{b}}{\huge\frac {m}{n}}


です。このような\large\frac{分数}{分数}を繁(はん)分数といいます。
そして、この繁分数の分母が  1 になるように変形していきます。

\LARGE\frac{a}{b}\div \frac{m}{n}

 

=\frac{\huge\frac {a}{b}}{\huge\frac {m}{n}}

 

=\frac{\huge\frac {a}{b}\color{red}{ \times\frac{n}{m}}}{\huge\frac {m}{n}\color{red}{ \times\frac{n}{m}}}

 

=\frac{\huge\frac {a}{b} \times\frac{n}{m}}{\LARGE 1}

 

=\LARGE\frac {a}{b} \times\frac{n}{m}


繁分数が気持ち悪くなければ、分数の割り算はこのように考えることもできます。

 

*1:もちろん、「距離÷時間=速さ」と考えてもいいです。