【数学塾直伝】分数の割り算の教え方と詳しい理屈（どうしてひっくり返すのかがよくわかる）

分数の割り算は、「子供に質問されて大人が困る算数の話題ランキング」（というものがあれば）ダントツの１位になるでしょう。なぜなら大人自身もやり方を知っているだけで理屈はわかっていないことが多いからです。そこで、本記事では子供への教え方と共に、少し高度な大人向けの理屈も紹介したいと思います。

【問題】
【子供への教え方】
【大人向けの理屈】

【問題】

あきら君が乗っている自動車は、 ${\large\frac{2}{3}}$ 分で ${\large\frac{4}{5}}$ km進みます。この自動車が一定の速度で走っているとすると、1分では何km進みますか？

たとえば、「３分で６km進みました。１分では何km進みますか？」という問題なら

$\large{6\div3=2}$

と計算して、１分で進む距離（分速）は「2km」と答が出せるでしょう*1
同じように考えれば、この問題は

$\LARGE\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}$

という計算をすれば答が出せそうです。いよいよ分数の割り算が登場します。
大人ならたいてい、上の計算は次のようにすればいいことを知っているでしょう。

${\LARGE\frac{4}{5}\div\frac{2}{3} = \LARGE\frac{4}{5}\times\frac{3}{2}}$

でも、子供に「どうしてひっくり返すの？」と聞かれて答えられる大人は少数派のはずです。

ここでの目標は１分で進む距離を出すことです。

そのためにまず、 ${\large\frac{2}{3}}$ 分で進む距離を半分にして ${\large\frac{1}{3}}$ 分で進む距離を出してからそれを３倍することで、１分で進む距離を出したいと思います。

何を求めるための計算なのかは強調してあげて下さいね！

【子供への教え方】

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まとめると、「１分で進む距離」を出すための「 $\large\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}$ 」という計算は

$\LARGE\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{5}\color{red}{ \times \frac{1}{2}\times\large3 }$

とかけ算に直せるできることがわかります。

$\LARGE\frac{1}{2}\times\large3\LARGE=\frac{1}{2}\times\frac{3}{1}=\LARGE\frac{3}{2}$

ですから、

$\LARGE\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{5}\color{red}{ \times\frac{3}{2} }$

もし、 ${\large\frac{●}{□}}$ 分で進む距離から1分で進む距離を出したいのなら、

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で求めることができます。一方、 ${\large\frac{●}{□}}$ 分で進む距離を ${\large\frac{1}{●}}$ 倍にして ${\large\frac{1}{□}}$ 分で進む距離を出し、それを□倍することでも１分で進む距離は出せます。

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でもいいわけです。

つまり、「 ${÷\large\frac{●}{□}}$ 」は「 ${\times\large\frac{1}{●}\normalsize\times □=\color{red}{ \times\large\frac{□}{●}}}$ 」と同じです。

まとめましょう。

$\LARGE\frac{△}{◎}\div\frac{●}{□}=\frac{△}{◎}\color{red}{ \times\frac{□}{●} }$

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【大人向けの理屈】

大人向けに、分数の割り算が逆数の掛け算になる理屈をもう少し厳密に考えてみましょう。

分数とはなにか？

そもそも分数とは何を表しているのでしょうか？

今、

$\large1\div\ 4$

という計算を考えます。これは「1個を4等分したときの1つ」を求める計算だと考えることができます。ただし、結果を整数で表すことはできません。そこでこの計算の結果を $\large\frac{1}{4}$ と書くことにします。

一般化すれば、 $\ 1$ 個を $\large n$ 等分したときの１つは $\bf\Large\frac{1}{\bf\it n}$ となります。

これが「そもそも」の分数の意味です。式で書くと

$\large 1\div n=\LARGE\frac{1}{n}$

ですね。

分数で割るとはどういうことか？

次に「分数で割るとはどういうことか」を考えておきたいと思います。例として

$\large1\div\LARGE\frac{1}{3}$

の計算の意味を考えましょう。

一般に、「 $\large m\div n$ 」の割り算には、次の２つの意味があります。

　 $\large m$ を $\large n$ 等分するといくらか？（等分除）
　 $\large m$ は $\large n$ が何個分か？　（包含除）

ただし、「 $1\div\large\frac{1}{3}$ 」の場合は、「 $1$ を $\large\frac{1}{3}$ 等分するといくらか？」と考えると混乱してしまいますので、「 $1$ は $\large\frac{1}{3}$ が何個分か？」と考えることにしましょう。図にすると

となりますから、「 $1$ は $\large\frac{1}{3}$ が $3$ 個分」です。つまり、

$\large1\div\LARGE\frac{1}{3}=\large3$

です。これを一般化すると、

$\large1\div\LARGE\frac{1}{n}=\large n$

となります。

分数の掛け算

分数の掛け算についても確認しておきましょう。たとえば

$\LARGE\frac{1}{2}\times\LARGE\frac{3}{4}$

はどのように考えたらよいでしょうか？視覚的に理解するために、長方形の面積で考えてみましょう。

$\large\frac{1}{2}\times\large\frac{3}{4}$ は、縦の長さが $\large\frac{1}{2}$ m、横の長さが $\large\frac{3}{4}$ m の長方形の面積を求める計算であると考えられます。この長方形を、一辺が $\ 1$ ｍの正方形の中に入れてみましょう。