【数学塾直伝】今度こそΣ（シグマ）記号を攻略しよう！（公式の図解と証明）［2020年5月8日更新］

たとえば、ちょっと本格的に統計を学ぼうとすると、Σ（シグマ）記号を避けて通ることはできません。数式が少なめの入門書を読み終えて、さあ、本腰を入れて勉強しよう！と思った矢先、Σ記号のせいで心折れてしまった人は少なくないはずです。それくらい、Σ記号は、数学が苦手な方からは敬遠されています。でも、慣れるとこれほど便利な記号はありません。この機会に是非攻略してしまいましょう！

記事の最後には「loom」を使った動画解説のリンクもありますので、よろしければぜひご覧ください。

Σの意味
Σの計算公式
Σの性質（なぜΣ記号は便利なのか？）
Σの計算公式の証明
関連書籍
動画解説

Σの意味

Σ記号の意味を掴むためにまずは具体例から入りましょう。例えば

\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{3} 2k \
\end{align}

は「 $2k$ の $k$ に 1 から 3 までの数を順々に代入して足したもの」という意味になります。
式でかけば

\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{3} 2k &= 2 \cdot \color{red}{1}+2 \cdot \color{red}{2}+2 \cdot \color{red}{3} \\
&= 2+4+6 \\
&= 12
\end{align}

です。同様に

$\displaystyle \sum_{k=2}^{5} k^2$

は「 $k^2$ の $k$ に 2 から 5 までの数を順々に代入して足したもの」という意味で

\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=2}^{5} k^2 &= \color{red}{2}^2+ \color{red}{3}^2+ \color{red}{4}^2+ \color{red}{5}^2 \\
&= 4+9+16+25 \\
&= 54
\end{align}

と計算されます。

数列の記号を使ってΣの意味を一般化しておきましょう。

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Σは英語で和を表す“Sum”の頭文字Sに相当するギリシャ文字の大文字です。
また、「k」の代わりに別の文字を使っても構いません。「 $a_1+a_2+a_3+⋯+a_n$ 」を表すのに

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i=a_1+a_2+a_3+⋯+a_n$

や

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_j=a_1+a_2+a_3+⋯+a_n$

のように書くこともできます*1
さらに初項 $a_1$ からの和でなくても、例えば「 $a_3+a_4+a_5+⋯+a_n$ 」のような数列の途中から始まる和も

\begin{align}
\color{red}{ \displaystyle \sum_{k=3}^{n} a_k=a_3+a_4+a_5+⋯+a_n}
\end{align}

と表せます。

Σの計算公式

Σの計算公式の数式による証明は本記事の末尾にまとめますが、先に、直観的とは言い難い（ii）自然数*2の和、（iii）平方数*3の和、（iv）立方数*4の和について、図解してみたいと思います。

自然数の和のΣを図解

\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k &= 1+2+3+⋯+n \\
&= \frac{n(n+1)}{2}\
\end{align}

について。

下の図のようにブロックを１個、２個、３個、４個、５個と並べたものを用意します。

このブロックの総数は $\displaystyle 1+2+3+4+5= \sum_{k=1}^{5} k$ 個ですね。

これと同じものをもうひとつ用意して、下の図のように組み合わせると、

となりますから、

\begin{align}
\displaystyle 2 \times \sum_{k=1}^{5} k=5 \times 6 \Rightarrow \sum_{k=1}^{5} k= \frac{5 \times 6}{2}=15 \
\end{align}

です。

同じように考えて、公式を導きます。

平方数の和のΣを図解

\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 &= 1^2+2^2+3^2+⋯+n^2 \\
&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\
\end{align}

について。

1kgの球を1個、2kgの球を2個、3kgの球を3個、下の図のように三角形状に並べます。次に、同じ6個の球を並べ方を変えて3段に重ねます。

一段の重さは $\displaystyle \sum_{k=1}^{3} k^2$ [kg]と表せるので出来上がった三段（計18個）の球の重さの合計は $\displaystyle 3 \times \sum_{k=1}^{3} k^2$ [kg] です。

同じように考えて、公式を導きます。

立方数の和のΣを図解

\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 &= 1^3+2^3+3^3+⋯+n^3 \\
&= \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2 \
\end{align}

について。

下の図のように、一辺の長さが $\displaystyle 1+2+3= \sum_{k=1}^{3} k$ の正方形の面積を考えます。

実は（上の図のように考えると）、この正方形の面積は $1^3+2^3+3^3$ と表せます。

つまり、 $1^3+2^3+3^3=\displaystyle \sum_{k=1}^{3} k \times \sum_{k=1}^{3} k$ です。

この考え方を使えば、公式が導けます。

ちなみに、上の図の逆L字部分（赤い部分）の面積が $n^3$ になることは次のように考えれば、確かめられます。

Σの性質（なぜΣ記号は便利なのか？）

Σ記号が便利なのは、これまで $a_1+a_2+a_3+⋯+a_n$ と書いていたものを、 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k$ と簡明（書き連ねる必要がない）かつ厳密に（…を使わずに）書くことができるという点ももちろんありますが、何より次の分配法則のような性質があるからです。

この性質があるからこそ、定数と自然数と平方数と立方数の和の公式さえ用意しておけば、非常に多くの数列の和を求めることができるのです。

（例）

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3k^2+k)$

$\displaystyle = 3 \sum_{k=1}^{n}k^2+ \sum_{k=1}^{n}k$

$\displaystyle =3 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{n(n+1)}{2}$

$\displaystyle = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}+ \frac{n(n+1)}{2}$

$\displaystyle = \frac{n(n+1)}{2} (2n+1+1)$

$\displaystyle = \frac{n(n+1)}{2} (2n+2)$

$\displaystyle = n(n+1)^2$